Wenn es eine Großbank ist (Deutsche Bank, Commerzbank, Hypobank, evtl. auch Postbank) die auch eine Filiale am neuen Ort hat, wäre das einfachste ein Kontoübertrag an die neue Filiale. Dabei wird das Konto nicht geschlossen und neu eröffnet sondern nur die Betreuung verlagert. Das hat auch den Vorteil, dass sich die Bankverbindung (Kontonummer) nicht ändert.
Das geht natürlich nicht bei den Sparkassen oder Raiffeisen Banken, da (fast) jedes Institut (zumindest pro Stadt oder Region) rechtlich selbständig ist. Aber man könnte bei der Bank mal freundlich nachfragen.
http://www.finanz-blog.org/mit-einem-kontouebertrag-die-bankfiliale-wechseln/